電力系統(tǒng)微機(jī)保護(hù)算法的對比分析
研究電力系統(tǒng)微機(jī)保護(hù)算法的目的在于找出好的算法,使之在滿足工程精度和響應(yīng)速度要求的前提下,盡可能減少數(shù)據(jù)采集量和計算時間，減少對輸入數(shù)據(jù)的特定要求。對此,人們已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究,提出了許多適于微機(jī)保護(hù)的計算方法。下面對常用的交流采樣算法作簡單介紹并分析其各自的優(yōu)缺點。
1、正弦函數(shù)模型的算法
所謂正弦函數(shù)模型的算法就是假設(shè)被采樣的信號電壓、電流均是頻率已知的正弦波，不含有非周期分量，也不含有其他諧波，如何從中計算出電壓、電流的幅值和相位的方法。
1.1兩點乘積算法
兩點乘積算法對電路中電壓和電流在任意時刻進(jìn)行相隔4/T采樣，通過計算獲得電壓和電流的有效值、有功功率和無功功率。對工頻交流電而言，兩點乘積法的數(shù)據(jù)窗為T/4＝5ms，它的優(yōu)點是計算簡單快速，克服了一點采樣法要求輸入對稱三相電流和電壓的缺點，但是它同樣沒有濾波作用，而且受直流分量影響最大。兩點乘積法對采樣的時間要求精確等于T/4,否則將會產(chǎn)生誤差。
根據(jù)電流 I 和電壓U求阻抗R、X的公式為：
兩點乘積算法其數(shù)據(jù)窗長度為1/4周期，對50Hz工頻而言為5ms。實際上，正弦量任何兩點相鄰的采樣值都可以算出有效值和相角，即可以使兩點乘積算法所需要的數(shù)據(jù)窗僅為很短的一個采樣間隔。
1.2半周積分算法
半周積分算法的原理是一個正弦量在任意半個周期內(nèi)絕對值的積分為一常數(shù)。半周積分法需要的數(shù)據(jù)窗長度為10ms,算法本身有一定的濾波能力。偶次高頻分量的正負(fù)半周在工頻半周積分中完全相互抵銷, 奇次諧波雖未能完全抵銷, 但其影響也小多了,它不能抑制直流分量, 故必要時可另配簡單的差分濾波器或用電抗變換器來削弱電流中非周期分量的影響。對于運(yùn)算精度要求不高的保護(hù)而言, 使用該算法可以提高保護(hù)裝置在嚴(yán)重故障情況下的動作速度。
1.3導(dǎo)數(shù)算法
導(dǎo)數(shù)算法也叫做微分法。這種算法只需要知道輸入正弦量在某一時刻t1的采樣值和該時刻的導(dǎo)數(shù)，即可算出其有效值和初相位。以電流為例，設(shè)i1為t1時刻的電流瞬時值，表達(dá)式為:
則此時刻電流的導(dǎo)數(shù)為：
(3)式和(4)式相除得：
以上表明，只要知道電流在某一時刻的采樣值和導(dǎo)數(shù)，就可以求出電流的有效值和初相位。同理也可以利用上式原理求出電壓的有效值和初相位。該算法實質(zhì)上是利用了正弦的導(dǎo)數(shù)與其自身具有90°相位差的性質(zhì)，所以它與兩點算法本質(zhì)上是一致的。本算法主要應(yīng)用于配電系統(tǒng)電壓、電流的保護(hù)。
上述幾種算法都是從電壓、電流為純正弦波的情況出發(fā)的。由于這些算法都是基于被采樣的電壓和電流是純正弦波變化, 而實際在發(fā)生故障時, 往往是在基波的基礎(chǔ)上疊加有衰減的非周期分量和各種高頻分量, 因此要求微機(jī)保護(hù)裝置對輸入的電流、電壓信號進(jìn)行預(yù)處理, 盡可能地濾除非周期分量和高頻分量, 否則計算結(jié)果將會出現(xiàn)較大的誤差?！ ?
2、隨機(jī)模型的算法
由前面分析可知,電力系統(tǒng)發(fā)生故障時電壓、電流函數(shù)主要包括3個分量,這些分量的大小值、頻率均是隨機(jī)的函數(shù)。對于輸入信號的擬合建模,可以通過采樣窗口的周期延拓,將輸入信號擬合于存在有限整倍數(shù)頻率分量的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)輸入信號只存在有限倍數(shù)頻率分量時,這種擬合是精確的。
2.1最小二乘濾波算法
最小二乘濾波算法在實用上,最常用的模型是線性化的衰減直流分量加上基頻分量和整數(shù)倍數(shù)的諧波分量。對帶有衰減直流分量的周期函數(shù), 或?qū)Ψ侵芷诤瘮?shù)作周期延拓的情況下, 這種方法與傅氏算法結(jié)果是一樣的。該算法是假定輸入信號是由衰減直流分量和有限項的整數(shù)倍諧波分量組成的, 將輸入信號最大限度地擬合于這一函數(shù)模型, 并將擬合過程中剩余的部分作為誤差量, 使其均方值減到最小。因此, 該算法也存在誤差。目前所采用的最小二乘算法大多將擬合函數(shù)選擇為包含直流、基頻和幾種低次諧波分量，例如, 若不計直流分量的衰減, 擬合函數(shù)可選擇為：
式中：xrj、xij——第 j 次諧波頻率的“實部”和“虛部”。
根據(jù)殘差平方和最小的原則，可得到待估計參數(shù)xrj、xij的估計方程。
最小二乘算法從頻域的角度來說相當(dāng)于一全波零點濾波器。當(dāng)擬合函數(shù)包含有第j次諧波分量時, 相當(dāng)于在該次諧波頻率處設(shè)置一零點。常規(guī)最小二乘算法在實際使用時, 其擬合模型的選擇應(yīng)與前置低通濾波器相配合, 使得未包含于擬合模型中的高頻分量能夠得到很好抑制，然而, 就目前所采用的各類低通濾波器而言，為保證算法具有較好的估計精度, 擬合模型不得不擴(kuò)大以包含所有通過低通濾波器的諧波分量, 這將使得計算量顯著增加, 數(shù)據(jù)窗也較長。因此, 最小二乘算法未能在微機(jī)距離保護(hù)中得到廣泛采用。
2.2卡爾曼濾波算法
卡爾曼濾波算法是最優(yōu)估計理論中的一種常用算法, 它主要用于隨時問變化的狀態(tài)量的估計。卡爾曼濾波算法與常規(guī)最小二乘算法的主要差別在于卡氏算法計及了噪聲分量的衰減，因此, 對不同時刻的殘差平方值，依據(jù)此時刻的噪聲方差的大小施以不同的加權(quán)系數(shù)，而常規(guī)最小二乘算法則不考慮噪聲衰減, 各時刻加權(quán)系數(shù)相同。其次, 卡爾曼濾波算法采用遞推計算模式, 具有可變的數(shù)據(jù)窗，當(dāng)采樣值增多時, 算法的數(shù)據(jù)窗自動加長, 從而使濾波性能得到改善?？ㄊ纤惴ǖ倪@一變數(shù)據(jù)窗特性對構(gòu)成具有反時限動作特性的距離保護(hù)來說具有重要意義。
卡爾曼濾波算法在實用中存在的主要問題是需事先給定隨機(jī)噪聲的經(jīng)過統(tǒng)計分析的有關(guān)參數(shù)以及遞推估計的初始啟動值，這通常是十分困難的事實, 考慮到故障后的穩(wěn)態(tài)分量受故障點位置、系統(tǒng)運(yùn)行方式、故障初相角等隨機(jī)因素的影響，事先難以作出較準(zhǔn)確的估計。因此, 實際使用時一種合理的做法是將初始估計位取為零，而初始估計誤差方差取為充分大, 即認(rèn)為對故障后的穩(wěn)態(tài)量無任何驗前知識。這樣, 有關(guān)濾波參數(shù)確定將簡化成只包含噪聲方差的衰減時間常數(shù)和直流分量的衰減時間常數(shù)。
3、基于周期函數(shù)模型算法
基于周期函數(shù)模型算法是將輸入信號看作周期性函數(shù), 或者可以近似地作為周期函數(shù)處理。當(dāng)信號是周期函數(shù)時, 它可以被分解為一個函數(shù)序列之和, 即級數(shù), 這是在時域的表現(xiàn)，從頻域看,周期函數(shù)可以用一系列離散的頻率分量表示。
3.1全波傅氏算法
根據(jù)傅氏級數(shù)理論, 并加以離散化, 可得到全波傅氏算法的計算公式：
經(jīng)采樣后, 連續(xù)量變?yōu)殡x散量, 積分變?yōu)榍箅x散和：
式中：k——一個周期中的采樣數(shù)為從故障開始時的采樣點序號。
基波的有效值為：，全波傅氏算法的優(yōu)點是精度高、濾波效果好，能濾除直流分量、n/2次諧波分量, 且穩(wěn)定性好。但這種算法需要一個周期內(nèi)的n個采樣數(shù)據(jù), 其數(shù)據(jù)窗為一個整周期T, 即20ms,所以響應(yīng)速度較慢。為了提高保護(hù)的速動性, 需要研究響應(yīng)速度更快的濾波算法。
3.2半波傅氏算法
根據(jù)傅氏級數(shù)理論, 并加以離散化, 可得到半波傅氏算法的計算公式：
經(jīng)采樣后, 積分變?yōu)榍箅x散和:
半波傅氏算法的特點是所需的數(shù)據(jù)窗比較短, 相當(dāng)于全波傅氏算法的一半, 響應(yīng)速度快, 但其濾波功能較弱, 不能濾除偶次諧波和直流分量。
4、結(jié)束語
微機(jī)保護(hù)算法是微機(jī)保護(hù)研究的重點, 微機(jī)保護(hù)不同功能的實現(xiàn),主要依靠其不同的算法完成。在高壓超高壓電力系統(tǒng)中，由于鐵磁元件的非線性、輸電線的分布電容和補(bǔ)償電容以及電壓互感器、電流互感器的二次暫態(tài)過程的影響，使輸入信號中含有大量的非周期分量和隨機(jī)的非整數(shù)倍頻分量。為保證計算精度，對距離保護(hù)、差動保護(hù)等，應(yīng)考慮采用隨機(jī)函數(shù)模型的算法。對于輸入信號中暫態(tài)分量不豐富或計算精度要求不高的保護(hù)，可采用確定性模型的算法，如低壓網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流主保護(hù)和后備保護(hù)。
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1、正弦函數(shù)模型的算法
所謂正弦函數(shù)模型的算法就是假設(shè)被采樣的信號電壓、電流均是頻率已知的正弦波，不含有非周期分量，也不含有其他諧波，如何從中計算出電壓、電流的幅值和相位的方法。
1.1兩點乘積算法
兩點乘積算法對電路中電壓和電流在任意時刻進(jìn)行相隔4/T采樣，通過計算獲得電壓和電流的有效值、有功功率和無功功率。對工頻交流電而言，兩點乘積法的數(shù)據(jù)窗為T/4＝5ms，它的優(yōu)點是計算簡單快速，克服了一點采樣法要求輸入對稱三相電流和電壓的缺點，但是它同樣沒有濾波作用，而且受直流分量影響最大。兩點乘積法對采樣的時間要求精確等于T/4,否則將會產(chǎn)生誤差。
根據(jù)電流 I 和電壓U求阻抗R、X的公式為：
兩點乘積算法其數(shù)據(jù)窗長度為1/4周期，對50Hz工頻而言為5ms。實際上，正弦量任何兩點相鄰的采樣值都可以算出有效值和相角，即可以使兩點乘積算法所需要的數(shù)據(jù)窗僅為很短的一個采樣間隔。
1.2半周積分算法
半周積分算法的原理是一個正弦量在任意半個周期內(nèi)絕對值的積分為一常數(shù)。半周積分法需要的數(shù)據(jù)窗長度為10ms,算法本身有一定的濾波能力。偶次高頻分量的正負(fù)半周在工頻半周積分中完全相互抵銷, 奇次諧波雖未能完全抵銷, 但其影響也小多了,它不能抑制直流分量, 故必要時可另配簡單的差分濾波器或用電抗變換器來削弱電流中非周期分量的影響。對于運(yùn)算精度要求不高的保護(hù)而言, 使用該算法可以提高保護(hù)裝置在嚴(yán)重故障情況下的動作速度。
1.3導(dǎo)數(shù)算法
導(dǎo)數(shù)算法也叫做微分法。這種算法只需要知道輸入正弦量在某一時刻t1的采樣值和該時刻的導(dǎo)數(shù)，即可算出其有效值和初相位。以電流為例，設(shè)i1為t1時刻的電流瞬時值，表達(dá)式為:
則此時刻電流的導(dǎo)數(shù)為：
(3)式和(4)式相除得：
以上表明，只要知道電流在某一時刻的采樣值和導(dǎo)數(shù)，就可以求出電流的有效值和初相位。同理也可以利用上式原理求出電壓的有效值和初相位。該算法實質(zhì)上是利用了正弦的導(dǎo)數(shù)與其自身具有90°相位差的性質(zhì)，所以它與兩點算法本質(zhì)上是一致的。本算法主要應(yīng)用于配電系統(tǒng)電壓、電流的保護(hù)。
上述幾種算法都是從電壓、電流為純正弦波的情況出發(fā)的。由于這些算法都是基于被采樣的電壓和電流是純正弦波變化, 而實際在發(fā)生故障時, 往往是在基波的基礎(chǔ)上疊加有衰減的非周期分量和各種高頻分量, 因此要求微機(jī)保護(hù)裝置對輸入的電流、電壓信號進(jìn)行預(yù)處理, 盡可能地濾除非周期分量和高頻分量, 否則計算結(jié)果將會出現(xiàn)較大的誤差?！ ?
2、隨機(jī)模型的算法
由前面分析可知,電力系統(tǒng)發(fā)生故障時電壓、電流函數(shù)主要包括3個分量,這些分量的大小值、頻率均是隨機(jī)的函數(shù)。對于輸入信號的擬合建模,可以通過采樣窗口的周期延拓,將輸入信號擬合于存在有限整倍數(shù)頻率分量的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)輸入信號只存在有限倍數(shù)頻率分量時,這種擬合是精確的。
2.1最小二乘濾波算法
最小二乘濾波算法在實用上,最常用的模型是線性化的衰減直流分量加上基頻分量和整數(shù)倍數(shù)的諧波分量。對帶有衰減直流分量的周期函數(shù), 或?qū)Ψ侵芷诤瘮?shù)作周期延拓的情況下, 這種方法與傅氏算法結(jié)果是一樣的。該算法是假定輸入信號是由衰減直流分量和有限項的整數(shù)倍諧波分量組成的, 將輸入信號最大限度地擬合于這一函數(shù)模型, 并將擬合過程中剩余的部分作為誤差量, 使其均方值減到最小。因此, 該算法也存在誤差。目前所采用的最小二乘算法大多將擬合函數(shù)選擇為包含直流、基頻和幾種低次諧波分量，例如, 若不計直流分量的衰減, 擬合函數(shù)可選擇為：
式中：xrj、xij——第 j 次諧波頻率的“實部”和“虛部”。
根據(jù)殘差平方和最小的原則，可得到待估計參數(shù)xrj、xij的估計方程。
最小二乘算法從頻域的角度來說相當(dāng)于一全波零點濾波器。當(dāng)擬合函數(shù)包含有第j次諧波分量時, 相當(dāng)于在該次諧波頻率處設(shè)置一零點。常規(guī)最小二乘算法在實際使用時, 其擬合模型的選擇應(yīng)與前置低通濾波器相配合, 使得未包含于擬合模型中的高頻分量能夠得到很好抑制，然而, 就目前所采用的各類低通濾波器而言，為保證算法具有較好的估計精度, 擬合模型不得不擴(kuò)大以包含所有通過低通濾波器的諧波分量, 這將使得計算量顯著增加, 數(shù)據(jù)窗也較長。因此, 最小二乘算法未能在微機(jī)距離保護(hù)中得到廣泛采用。
2.2卡爾曼濾波算法
卡爾曼濾波算法是最優(yōu)估計理論中的一種常用算法, 它主要用于隨時問變化的狀態(tài)量的估計。卡爾曼濾波算法與常規(guī)最小二乘算法的主要差別在于卡氏算法計及了噪聲分量的衰減，因此, 對不同時刻的殘差平方值，依據(jù)此時刻的噪聲方差的大小施以不同的加權(quán)系數(shù)，而常規(guī)最小二乘算法則不考慮噪聲衰減, 各時刻加權(quán)系數(shù)相同。其次, 卡爾曼濾波算法采用遞推計算模式, 具有可變的數(shù)據(jù)窗，當(dāng)采樣值增多時, 算法的數(shù)據(jù)窗自動加長, 從而使濾波性能得到改善?？ㄊ纤惴ǖ倪@一變數(shù)據(jù)窗特性對構(gòu)成具有反時限動作特性的距離保護(hù)來說具有重要意義。
卡爾曼濾波算法在實用中存在的主要問題是需事先給定隨機(jī)噪聲的經(jīng)過統(tǒng)計分析的有關(guān)參數(shù)以及遞推估計的初始啟動值，這通常是十分困難的事實, 考慮到故障后的穩(wěn)態(tài)分量受故障點位置、系統(tǒng)運(yùn)行方式、故障初相角等隨機(jī)因素的影響，事先難以作出較準(zhǔn)確的估計。因此, 實際使用時一種合理的做法是將初始估計位取為零，而初始估計誤差方差取為充分大, 即認(rèn)為對故障后的穩(wěn)態(tài)量無任何驗前知識。這樣, 有關(guān)濾波參數(shù)確定將簡化成只包含噪聲方差的衰減時間常數(shù)和直流分量的衰減時間常數(shù)。
3、基于周期函數(shù)模型算法
基于周期函數(shù)模型算法是將輸入信號看作周期性函數(shù), 或者可以近似地作為周期函數(shù)處理。當(dāng)信號是周期函數(shù)時, 它可以被分解為一個函數(shù)序列之和, 即級數(shù), 這是在時域的表現(xiàn)，從頻域看,周期函數(shù)可以用一系列離散的頻率分量表示。
3.1全波傅氏算法
根據(jù)傅氏級數(shù)理論, 并加以離散化, 可得到全波傅氏算法的計算公式：
經(jīng)采樣后, 連續(xù)量變?yōu)殡x散量, 積分變?yōu)榍箅x散和：
式中：k——一個周期中的采樣數(shù)為從故障開始時的采樣點序號。
基波的有效值為：，全波傅氏算法的優(yōu)點是精度高、濾波效果好，能濾除直流分量、n/2次諧波分量, 且穩(wěn)定性好。但這種算法需要一個周期內(nèi)的n個采樣數(shù)據(jù), 其數(shù)據(jù)窗為一個整周期T, 即20ms,所以響應(yīng)速度較慢。為了提高保護(hù)的速動性, 需要研究響應(yīng)速度更快的濾波算法。
3.2半波傅氏算法
根據(jù)傅氏級數(shù)理論, 并加以離散化, 可得到半波傅氏算法的計算公式：
經(jīng)采樣后, 積分變?yōu)榍箅x散和:
半波傅氏算法的特點是所需的數(shù)據(jù)窗比較短, 相當(dāng)于全波傅氏算法的一半, 響應(yīng)速度快, 但其濾波功能較弱, 不能濾除偶次諧波和直流分量。
4、結(jié)束語
微機(jī)保護(hù)算法是微機(jī)保護(hù)研究的重點, 微機(jī)保護(hù)不同功能的實現(xiàn),主要依靠其不同的算法完成。在高壓超高壓電力系統(tǒng)中，由于鐵磁元件的非線性、輸電線的分布電容和補(bǔ)償電容以及電壓互感器、電流互感器的二次暫態(tài)過程的影響，使輸入信號中含有大量的非周期分量和隨機(jī)的非整數(shù)倍頻分量。為保證計算精度，對距離保護(hù)、差動保護(hù)等，應(yīng)考慮采用隨機(jī)函數(shù)模型的算法。對于輸入信號中暫態(tài)分量不豐富或計算精度要求不高的保護(hù)，可采用確定性模型的算法，如低壓網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流主保護(hù)和后備保護(hù)。
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